از میرزاخانی چه در تاریخ می ماند؟

«ورنر هایزنبرگ»، فیزیکدان سرشناس آلمانی، در کتاب «فیزیک و فلسفه» اظهار می‌کند: «باید این را به خاطر داشت که آنچه ما مشاهده می‌کنیم نفْس طبیعت نیست، بلکه طبیعت آنچنان است که در معرض شیوه پرسشگری ما واقع شده است.»

کد خبر: ۱۷۱۱۶۱

تاریخ: ۰۶ مرداد ۱۳۹۶ - ۰۲:۲۰

معنای این گفته‌ «هایزنبرگ» در پرتو دستاوردهای او و دیگر بنیانگذاران فیزیک جدید ملموس‌تر می‌شود، اما برای درک دلالت‌های عمیق‌تر و حقیقت نهفته در آن از زبان یک فیزیکدان، ناگزیر از مراجعه به یک قلمروی دیگر نیز هستیم؛ قلمرویی که در آن شیوه‌های پرسشگری همواره از قید طبیعت آزاد بوده‌اند: ریاضیات محض. در این‌صورت است که جانمایی میراث ریاضیدانی همچون «مریم میرزاخانی» نیز در بستر تاریخ علم، به عنوان پرسشگر خستگی‌ناپذیری که به پاسخ‌هایی درخشان رسیده بود، دلیلی روشن‌تر از ملیت، جنسیت، عقبه تحصیلی و حتی افتخارات حرفه‌ای‌ او را برای درک ضایعه فقدان‌اش در اختیار ما معاصرین علم جدید قرار خواهد داد. در این مقاله خواهم کوشید ابتدا روایتی از نقش ریاضیات و شهود هندسی در درک زوایای پنهان واقعیت ارائه کنم و بدین‌وسیله پرتویی بر اهمیت دستاوردهای «میرزاخانی» به عنوان ریاضیدانی در ردیف نام‌آوران تاریخ این رشته بیفکنم.

از فیزیک به ریاضیات: درنگی تاریخی
سه دهه پیش از آنکه «هایزنبرگ» جمله یادشده در پیشانی مقاله حاضر را در جریان درسگفتارهای دانشگاه سنت‌اندروز اسکاتلند ایراد کند، انتظار بیان این دیدگاه از او بعید می‌نمود. در آن مقطع، او به عنوان دانشجوی جوانی از خیل علاقه‌مندان به فلسفه اثبات‌گرایی (که ملاک صدق یک گزاره را تنها اثبات تجربی‌ آن می‌داند)، مشغول تدوین یک توصیف ریاضی از رفتار اتم بود که فقط به متغیرهای مشاهده‌پذیر آن استناد می‌کرد؛ متغیرهایی که امکان محاسبه و اثبات‌شان وجود دارد. سال‌ها بود که فیزیکدانان به رابطه بین درخشندگی نسبی خطوط طیفی یک اتم و احتمال حضور الکترون‌هایش در فواصلی مشخص از هسته آن پی برده بودند، اما از آن پیش‌تر نمی‌شد رفت. «هایزنبرگ» مصمم بود از طریق بازتعریف این رابطه بر حسب متغیرهای مشاهده‌پذیر اتم و همچنین اصل پایستگی انرژی، این بن‌بست را پشت سر بگذارد. در فیزیک کلاسیک، مقدار انرژی‌ای که در جریان گذار یک الکترون از وضعیتی به وضعیت دیگر گسیل می‌شود، با مجذور موقعیت الکترون در اطراف هسته متناسب است؛ اما از آنجاکه نزد «هایزنبرگ»، موقعیت دقیق الکترون یک متغیر غیرمشاهده‌پذیر محسوب می‌شد، او این متغیر دقیق را با متغیر احتمالاتی «شانس گذار الکترون از وضعیت اولیه به وضعیت نهایی» جایگزین کرد. اینجا بود که بن‌بستی تازه رخ نمود: گذار یک الکترون از وضعیت اولیه به وضعیت نهایی لزوما طی یک مرحله رخ نمی‌دهد. ممکن است الکترون ابتدا به یک وضعیت میانه (موسوم به وضعیت شبه‌پایدار) وارد شود و سپس به وضعیت نهایی خود برسد. اما جمع‌زدن احتمال گذار الکترون از وضعیت اولیه به وضعیت شبه‌پایدار و سپس وضعیت شبه‌پایدار به وضعیت نهایی و سپس مجذور گرفتن از این مقدار، جوابگو نبود. طبق اصل پایستگی انرژی، مقدار انرژی گسیل‌شده از اتم می‌بایست با حاصل تفریق انرژی نهایی اتم از انرژی اولیه آن برابر باشد؛ اما عددی که از مجذور گرفتن حاصلجمع احتمالات ناظر بر گذار الکترون به وضعیت‌های شبه‌پایدار و سپس پایدار به دست می‌آمد، با حاصل تفریق انرژی‌ نهایی اتم از انرژی اولیه‌اش برابر نبود. «هایزنبرگ» کوشید از مسیر برهان خُلف به مسئله ورود کند: او با در اختیارداشتن مقدار انرژی‌‌هایی که از وضعیت‌های مختلفِ برانگیختگی اتم هیدروژن گسیل می‌شوند، کوشید قواعد ریاضی توصیف خود را چنان آرایش بدهد که حاصلجمع احتمالات ناظر بر گذار الکترون به این وضعیت‌ها، با مقدار انرژی نهایی اتم برابر به دست آید. معلوم شد که دراینصورت، ترتیب ضرب دو متغیر احتمالاتی (اینکه مثلا a در b ضرب بشود، یا b در a) مهم خواهد بود؛ چراکه هرکدام، مقدار انرژی متفاوتی به دست می‌داد. به این می‌مانَد که در ترتیب مراحل پختن کیک، ابتدا تخم‌مرغ را به بیکینگ‌پودر بیفزاییم و سپس کیک را بپزیم، یا ابتدا بیکینگ‌پودر را به تخم‌مرغ بیفزاییم و سپس کیک را بپزیم. در هر مورد، نتیجه متفاوت خواهد بود. و درخصوص توصیف «هایزنبرگ» از رفتار اتم، فقط یکی از این موارد به نتیجه مطلوب می‌انجامید. «هایزنبرگ» نتایج بررسی خود را برای همکار فیزیکدانش «ولفگانگ پائولی» و مافوق ریاضیدانش در دانشگاه گوتینگن، «ماکس بورن» ارسال کرد. ابتکار «هایزنبرگ» در معرفی این رابطه به‌اصطلاح «غیرتراگذری» در حاصلضرب متغیرهای احتمالاتی رفتار اتم، ابتدا توجه بورن را به خود جلب کرد. او بعدها در کتاب «فیزیک در زمانه من» نوشت: «... قاعده ضرب هایزنبرگ آشفته‌خاطرم کرد، و پس از یک هفته فکرکردن و کوشیدن، ناگهان به یاد یک نظریه جبری افتادم که از استادم ... در [دانشگاه] وروتسواف [لهستان] آموخته بودم. چنین چندجمله‌ای‌های درجه‌دومی نزد ریاضیدانان کاملا آشناست، و ماتریس خوانده می‌شوند، و قواعد ضربی مختص خود را دارند.» مقاله «هایزنبرگ»، «پائولی» را نیز به همان اندازه مشعوف کرد. «پائولی» در نامه‌ای به فیزیکدان آلمانی «رالف کرونیگ» نوشت: «اگرچه این پاسخی به معما نیست، اما مطمئنم که بار دیگر امکان پیشروی فراهم آمده است.» همزمان، «بورن» در نامه‌ای به «پائولی» از او خواست تا به اتفاق «هایزنبرگ»، سطح ریاضیات مقاله‌اش را بهبود بخشند؛ اما «پائولی» که خود همچون «هایزنبرگ» فیزیکدانی اثبات‌گرا بود و از پیچیده‌سازی صورت ریاضی مسائل اجتناب می‌کرد، درخواست «بورن» را رد کرد و در پاسخ نوشت: «می‌دانم که تو شیفته فرمالیسم خسته‌کننده و پیچیده‌‌ای. فقط می‌خواهی ایده‌های فیزیکی هایزنبرگ را با ریاضیات بی‌ثمرت آلوده کنی.» بنابراین «بورن» ناگزیر از دستیار ریاضیدان‌ خود «پاسکال یوردان» دعوت به همکاری کرد و آن دو به اتفاق یکدیگر، مبانی ریاضیاتی مدل «هایزنبرگ» را در مقاله‌ای مربوط به سپتامبر ١٩٢٤ ارتقاء بخشیدند. به مجرد انتشار مقاله بورن-یوردان، «هایزنبرگ» اعتماد ازدست‌رفته خود را به ریاضیات محض بازیافت و در نامه‌ای دوستانه به «پائولی» نوشت: «... مسلما می‌پذیری که ما عمدا فیزیک را خراب نمی‌کنیم. اگر از این می‌نالی که چقدر بی‌شعوریم چون هنوز به هیچ چیز جدیدی از حیث فیزیکی نرسیده‌ایم، احتمالا حق با توست. اما در اینصورت تو هم همان‌قدر بی‌شعوری؛ چون تو هم به جایی نرسیده‌ای.» «هایزنبرگ» به جمع «بورن» و «یوردان» پیوست تا چندی بعد، بنیان «مکانیک ماتریسی» نهاده شود؛ مدلی ریاضیاتی برای توصیف رفتار اتم‌ که دو سال بعد با ادغام در «مکانیک موجی»، به تدوین نظریه دوران‌ساز کوانتوم انجامید. تا پیش از این دستاورد، ماتریس صرفا ابزاری برای حل همزمان چند معادله و یک ترفند ریاضیاتی به شمار می‌رفت. کنجکاوی محض ریاضیدانان در طول چندین قرن عاقبت از این ابزار انتزاعی چراغی ساخت که فقط از طریق همان می‌شد به دنیای درون اتم وارد شد. اما نمونه‌ها به تنها همین مورد محدود نمی‌شود و باید اذعان داشت این موارد آنچنان در تاریخ علم فراوان‌اند که نمی‌توان به‌یقین گفت آیا پیشی‌جستن ایده‌های ریاضیدانان از تصورات فیزیکدانان در درک سازوکار جهان یک قاعده است یا استثناء. برای ورود به حتی آستانه جهان ایده‌های ریاضیدانی همچون «میرزاخانی»، ضروری است تا به شرح دست‌کم یک مورد تاریخی دیگر نیز بپردازیم: تولد شاخه توپولوژی.

از ریاضیات به شهود تجربی: تولد شاخه توپولوژی
پیشینه شاخه توپولوژی به سؤالی ساده راجع به موقعیت هفت پل شهر کونیگسبرک (کالینینگراد امروز) در امپراطوری پروس مربوط می‌شود. این شهر به واسطه مسیر عبور رودخانه پرگِل، به چهار خشکی مجزا تقسیم شده است، که در آن دوران با هفت پل به یکدیگر متصل شده بودند. پیاده‌روی‌‌های معمول یکشنبه‌های اهالی کونیگسبرگ در سطح شهر و عبور پیاپی‌شان از این پل‌ها، امروزه برای توجیه این سؤال ساده آن‌ موقع‌شان کافی می‌نماید که: آیا می‌توان مسیری را تعریف کرد که در جریان آن، از طریق هر هفت پل، از هر چهار خشکی شهر عبور کرد و در عین حال بیش از یک بار از آن پل‌ها نگذشت؟ پاسخ این پرسش را عاقبت «لئونارد اویلر»، ریاضیدان سرشناس قرن هجدهم، در شرایطی مطرح ساخت که تا پیش از آن نمی‌شد راه‌حلی را برای آن متصور بود. «اویلر» متوجه شد که گرچه این مسئله ذاتا یک مسئله‌ هندسی است، اما از یک لحاظ با مسائل متعارف هندسه اقلیدسی تفاوت دارد: اینکه در آن از مسافت‌‌ها صرفنظر می‌شود. مهم نیست که ابعاد آن چهار خشکی یا طول آن هفت پل چقدر باشد، مهم نحوه اتصال آنها به یکدیگر است. پس ابتدا باید صورت‌مسئله را از مؤلفه‌های مربوط به مسافت زدود؛ اقدامی که گرچه تا به آن مقطع در بین ریاضیدانان سابقه‌ای نداشت، اما نیم‌قرن پیش‌تر از آن، فیلسوف و ریاضیدان آلمانی، «گوتفرید لایب‌نیتس» به امکان‌پذیری‌اش اشاره کرده بود. «اویلر» از طریق این استدلال ثابت کرد که نمی‌توان طی یک راهپیمایی واحد، با تنها یک بار گذشتن از هر هفت پل کونیگسبرگ، از هر چهار خشکی آن عبور کرد. او برای اثبات این استدلال، تمام مؤلفه‌های مسئله را به هفت «رشته» (به نمایندگی از هفت پل) و چهار «گره» (به نمایندگی از چهار خشکی) ساده کرد و به نموداری که در صفحه می‌بینید، رسید. از این نمودار امروزه تحت عنوان یک «گراف» یاد می‌شود. تنها مؤلفه‌ای که در این نمودار اهمیت دارد، اتصالات آن است؛ به‌طوریکه موقعیت گره‌ها و طول و شکل رشته‌ها در این بین هیچ تأثیری بر اصل مسئله نخواهد داشت. به عبارت دیگر، این نمودار را می‌توان به بی‌نهایت حالت دیگر نیز ترسیم کرد و از منظر توپولوژیک کماکان یک شکل واحد داشت. چنانچه بخواهیم از هر چهار خشکی با عبور یک‌باره از هر هفت پل بگذریم، طبق این نمودار باید تعداد رشته‌های عبوری از هر گره (یا به عبارت امروزی، «درجه گره») عددی زوج باشد (نیمی از آنها برای ورود به خشکی و نیمی از آنها برای خروج از آن). این در حالی است که درجات هر چهار گره در گراف فوق، عددی فرد است. و از آنجاکه در یک مسیر پیاده‌روی نهایتا دو گره در نقش نقاط شروع و پایان مسیر ظاهر می‌شوند، گزاره «عبور از هر چهار خشکی از طریق عبور یک‌باره از هر هفت پل»، گزاره‌ای‌ تناقض‌آمیز خواهد بود. مسئله هفت پل کونیگسبرگ از این لحاظ اغواکننده است که پیچیدگی ظاهری‌‌اش ما را اشتباها به این تصور وامی‌دارد که «شاید» بتوان از طریق آزمون و خطا به مسیر مطلوب دست پیدا کرد. و توپولوژی راهی برای زدودن همین پیچیدگی‌های گمراه‌کننده است؛ چراکه از منظر توپولوژیک، کلیه مسیرهای ممکن راهپیمایی‌ که از هر چهار خشکی و هر هفت پل بگذرد، مسیرهایی اصطلاحا «همریخت» هستند و به همین‌ دلیل هیچ‌کدام‌شان قادر به برآوردن شرط صورت‌مسئله نخواهند بود. مثلا حروف همریخت الفبای انگلیسی را می‌توان بر حسب تعداد «حفره»ها و «دُم»هایشان در این دسته‌ها جا داد:

١) R ،A (یک حفره، دو دم)
٢) B (دو حفره)
٣) Z،W،V،U،S،N،M،L،J،I،G،C (یک دم)
٤) O، D (یک حفره)
٥) Y،T،F،E (سه دم)
٦) X،K،H (چهار دم)
٧) Q،P (یک حفره، یک دم)

به عنوان نمونه، حروف A و R را می‌توان صرفا با خم‌کردن‌شان به یکدیگر مبدل کرد. حروف D و O را نیز به همین ترتیب. اما نمی‌توان با صِرف خم‌کردن حرف A، آن را به شکل حرف O درآورد. چنین کاری مستلزم برش‌دادن و چسباندن بخش‌هایی از حرف A است. مادام‌که برای تغییر حالت دو شکل احتیاجی به برش‌دادن یا چسباندن اجزای‌شان نباشد، آن دو شکل از حیث توپولوژیک همریخت هستند؛ در غیراینصورت، آن دو شکل اصطلاحا از دو «گونه» توپولوژیک متفاوت‌اند. یعنی از منظر توپولوژیک، الفبای انگلیسی تنها هفت حرف دارد – یا به عبارت بهتر، از هفت «گونه» تشکیل شده است.

از شهود تجربی به شهود هندسی: روزنه‌ای به جهان «میرزاخانی»
شهود تجربی، قرن‌ها پیش از آنکه زمینه را برای تولد شاخه توپولوژی فراهم کند، به تعریف مبادی هندسه اقلیدسی پرداخته بود. پیرو این شهود، «فضا» در این هندسه به عنوان امتداد صفحه در راستای سه بعد تعریف می‌شود، «صفحه» به عنوان امتداد خط در راستای دو بعد، و «خط» به عنوان امتداد نقطه در راستای یک بعد. بر همین مبنا، اقلیدس به تعریف پنج اصل موضوعه برای هندسه خود پرداخت. اما ریاضیدانان متأخرتر (از جمله عمر خیام) پی بردند که از بین اصول پنج‌گانه اقلیدس، اصل پنجم دچار یک خطای منطقی است. مطابق این اصل (موسوم به «اصل توازی»)، چنانچه دو خط دلخواه را با یک خط سوم قطع کنیم، در آن سمتی که مجموع زوایای داخلی کمتر از مجموع دو زاویه قائمه است، دو خط در ادامهْ یکدیگر را قطع خواهند کرد. «خیام» در رساله
«فی شرح ما أشکل من مصادرات کتاب اقلیدس» می‌پرسد (ترجمه از عربی): «چه ارتباطی است بین هندسه، حرکت و آنچه به منزله حرکت فهم می‌شود؟ طبق تلقی علماء، شکی نیست که یک خط فقط بر روی یک صفحه می‌تواند وجود داشته باشد، و یک صفحه نیز فقط در یک فضا؛ یعنی یک خط فقط می‌تواند در یک فضا واقع شود و نمی‌تواند مقدم بر یک صفحه باشد. با این حساب، اگر [این خط] از موضوع‌ خود انتزاع یابد، چگونه می‌تواند حرکت کند؟» به عبارت دیگر، نمی‌توان پیشاپیش با استناد به مفهوم صفحه (که به عنوان امتداد خط در دو بعد تعریف می‌شود)، اصلی را راجع به خط تعریف کرد؛ چراکه در اینصورت یک قضیه خواهیم داشت، نه اصل. از همین‌رو جمعی از ریاضیدانان اوایل قرن نوزدهم اصل پنجم را به عنوان یک گزاره زائد حذف کردند و به ساحت هندسه آزادی بیشتری از آنچه صرفا شهود متعارف حکم می‌کرد عطا کردند.

در این «هندسه نااقلیدسی»، اگرچه فضا و صفحه همچنان به عنوان امتداد صفحه و خط تعریف می‌شوند، اما می‌توان به تعریف صفحات و فضاهای دیگری با انحناهای متفاوت نیز پرداخت. در اینصورت، فضاهای نااقلیدسی به منزله امتداد صفحاتی از یک «گونه» توپولوژیک تعریف خواهند شد. این صفحات، پیرو نام ریاضیدان آلمانی برنهارت ریمان، اصطلاحا «سطوح ریمان» خوانده می‌شوند. پیرو تشبیهات بخش پیشین مقاله، می‌توان سطوح ریمان را بر حسب تعداد «دسته»هایشان گونه‌بندی کرد: مثلا یک کُره، فاقد دسته است و بنابراین از سطح آن با عنوان یک سطح ریمان با گونه صفر (g = ٠) یاد می‌شود. سطح یک فنجان (با یک دسته)، یک سطح ریمان با گونه ١ (g = ١) است و سطح دو دونات به‌هم‌چسبیده (نظیر علامت بی‌نهایت)، یک سطح ریمان با گونه ٢ (g = ٢). (در اصطلاح ریاضی، به سطوح ریمان با گونه بیش از ١ اصطلاحا «سطوح هذلولی» گفته می‌شود.) یک سطح ریمان می‌تواند به بی‌نهایت شکل همریخت تغییر حالت بدهد، به‌طوریکه تغییر حالت یک سطح ریمان با گونه g، بر ٦g-g پارامتر مبتنی است. به عبارت دیگر، هر سطح ریمان با گونه g، در یک فضای ٦g-٦ بُعدی تغییر حالت می‌دهد، که از آن با عنوان «فضای مدولی» یاد می‌شود. درک ساختار کلی یک فضای مدولی، از دشوارترین مسائل ریاضیات جدید به شمار می‌رود. ریاضیدانان از مدت‌ها پیش می‌دانسته‌اند که بین برخی خواص سطوح ریمان و برخی توصیفات از دیگر رشته‌های ریاضیات، ارتباطاتی گنگ و مبهم وجود دارد. یکی از این خواص به تعداد اصطلاحا «خطوط ژئودزیک بسته»‌ای که بر روی این سطوح واقع شده‌اند مربوط می‌شود، خطوطی که نمی‌توان طول‌شان را با تغییر حالت صفحه کوتاه‌تر کرد. حدود نیم‌قرن است که می‌دانیم تعداد خطوط ژئودزیک بسته‌ی کوتاه‌تر از یک مقدار دلخواه (گیریم L) بر روی یک سطح ریمان، به ازای افزایش L، با الگویی خاص افزایش می‌یابد. این الگو به طرز عجیبی با الگوی افزایش تعداد اعداد اولِ کمتر از یک عدد صحیح دلخواه (گیریم L)، به ازای افزایش L هم‌ارز است. به همین دلیل از این قضیه هندسی تحت عنوان «قضیه اعداد اول برای خطوط ژئودزیک» یاد می‌شود؛ عبارتی ظاهرا نامتجانس که بر دو شاخه متفاوت از ریاضیات دلالت دارد: هندسه ریمانی و نظریه اعداد. «مریم میرزاخانی» طی تدوین رساله دکتری‌ خود (مربوط به سال ٢٠٠٤) کوشید معادل قضیه فوق را برای نوع خاصی از خطوط ژئودزیک بسته بر روی سطوح هذلولی استخراج کند: خطوط ژئودزیک بسته‌ای که در هیچ نقطه‌ای خود را قطع نمی‌کنند. از این خطوط تحت عنوان «خطوط ژئودزیک بسته ساده» یاد می‌شود. این کنجکاوی ساده، رفته‌رفته به دستاوردی بزرگ انجامید.

«میرزاخانی» دریافت که تعداد خطوط ژئودزیک بسته ساده با طول L بر روی یک سطح هذلولی، به ازای افزایش L، با نسبتی بسیار متفاوت (از مرتبه L به توان ٦g-g) افزایش می‌یابد؛ نسبتی که می‌توانست پلی برای کسب یک چشم‌انداز بهتر از خواص فضاهای مدولی باشد. «میرزاخانی» از همین طریق، موفق به استخراج روشی برای محاسبه حجم فضاهای مدولی در اطراف سطوح ریمان شد؛ اقدامی که تا پیش از آن، حتی تصور آن نیز دشوار می‌نمود. اما این شروع روندی بود که در یک دهه آتی، به دستاوردهایی ارزنده برای «میرزاخانی» و همکاران‌اش انجامید. تلاش‌های او در جهت تعمیم رهیافت فوق، به برقراری پیوندهایی غیرمنتظره‌ بین دیگر شاخه‌های ریاضیات نیز انجامید؛ از جمله ارائه اثباتی متفاوت برای «حدس ویتن» (مبحثی در هندسه جبری)، اثبات تناظر بین «حدس اوپنهایم» (مبحثی در نظریه اعداد) و مسئله بیلیارد در چندضلعی‌های محدب (در چارچوب مبحث سیستم‌های دینامیکی)، تبیین رفتار «شار زلزله ترستن» (مبحثی در هندسه هذلولی)، و تعمیم نظریه راتنر (مبحثی در نظریه ارگودیک). صرفنظر از پیچیدگی عناوین و غرابت مباحث فوق، موفقیت «میرزاخانی» در پیونددادن این مباحث پراکنده، تلویحا بر اهمیت بیشتر هندسه هذلولی از یک حالت صرفا خاص از هندسه ریمانی دلالت داشته و دارد و نوید برقراری پیوندهایی بیشتر بین شاخه‌های مختلف ریاضیات را می‌دهد؛ هندسه‌ای که چه‌بسا در آینده ظرفیت ارائه تفاسیر فیزیکی نیز از آن فراهم آید و از زوایایی نادیده از رفتار جهان‌ پرده برگیرد. سال گذشته، جایزه نوبل فیزیک به کشف «حالت‌های توپولوژیکی ماده و تغییر حالت‌هایشان» اختصاص یافت. اما ٢٨٠ سال پیش از آن، «اویلر» در مقاله‌ای راجع به شاخه نوظهور توپولوژی (که در آن مقطع «هندسه مکان» نامیده می‌شد) نوشته بود: «هنوز به طرز مشخصی روشن نیست که چه‌نوع مسئله‌هایی به این هندسه مکان ارتباط پیدا می‌کنند یا باید از چه راهکارهایی نسبت به حل‌شان اقدام کرد». همین توصیف امروزه بر دستاوردهای «میرزاخانی» نیز مصداق پیدا می‌کند؛ ریاضیدانی که با طرح پرسش‌های درخشان، قلمروهای سابقا گنگ ریاضیات را به ارائه پاسخ‌هایی غیرمنتظره واداشت.

منبع : شرق